日曜早朝の道路はガラガラです。

イスタンブール在住です。

1.エアポートシャトルバスは"Havas"と言います。
"Havas"は新市街の「タクシム広場」発着です。
朝4:00から30分毎に便があります。片道10TLです。所要時間は平均40分です。
詳細はこちら↓
http://www.havas.net/otobus-ve-otopark/istanbul-ataturk-havalimani/

TAKSİM OTOBÜS HİZMET BİLGİLERİの下Taksim'denの欄がタクシム広場発の時刻表です。
スルタン地区からタクシム広場まではタクシーか公共交通機関ですね。
公共交通機関は、
トラムで"Kabatasi(カバタシ)"まで行き、メトロに乗り換えて一駅で"Taksim(タクシム)"に着きます。所要時間は30分くらいかな。片道1.5TL+0.75TL＝2.25TLです。
但し、トラムの始発が6:00ですので、時間的に厳しいですね。

2.ホテルサービスのシャトルバスについては存じませんので宿泊ホテルに確認してみてください。
小規模のホテルなら外注のservisバスを利用するかもしれませんね？

3.電車で行くにはトラム＆メトロですね。
スルタン地区からだとメトロで"Zeytinburunu(ゼイティンブルヌ)"まで行き、メトロに乗り換えて"Ataturk Havalimanı(アタトゥルク空港)"までです。
片道1.5TL×2＝3.0TLです。
所要時間は約1時間くらいだったと記憶しています。
但し、始発が6:00"Kabatasi(カバタシ)"ですので、(スルタン地区発は6:20くらいかな）8:10発の便にはちょっと余裕が無いかもしれませんね。

4.タクシーはホテルに頼んで早朝来るように頼んでおけば間違いないと思います。
日曜の朝ならスルタン地区から20分くらいで空港まで行くかと思います。料金は？ですが、20TL～30TLくらいかな？

空港到着時間は通常通り2時間～1.5時間前くらいで十分でしょう。
道路の渋滞状況についてはタイトル通り、日曜の朝は御心配なさらなくて良いと思います。

一番安いのは3.ですが、時間的に厳しそうですね。
1.も良いのですが、タクシム広場までの公共交通機関の始発が6:00ですのでこれもまた時間的に厳しそうですね。
となると、2.か4.となりますが、料金的にも4.で良いのではないでしょうか？
前日にホテルに頼んでおけば早朝タクシーが来ますよ。

では良い旅を！