一応空港内にも簡易宿泊所はあるよ!

私が、同じ立場であれば迷わず空港ロビーで朝まで待機ですが(バックパッカーが何人かは空港で仮眠してる)空港ロビーで仮眠するのがいやならば、空港内の簡易宿泊施設に宿泊する方法もあります
また、コルカタ市内までは、空港近くから路線バスが運行してます