まずは問い合わせを。

私はKulmhotelのように山岳ホテルに滞在したことはありませんが、通常、8月のスイスなら1月の初め、年末年始のスキーなら5月に、ホテルと航空券を確保します。(このタイミングを逃すと希望通りいかないので。)でも、これは私個人の経験のみなので、一概には何とも言えません。

ホテルのメールアドレスがHPにあるようですから、”Enquiry without obligation"の項目を使わずに、ただ単に問い合わせのメールを送ってみてはいかがでしょう。スイス人は几帳面な国民だと思いますので、返事が来るのではないでしょうか。これが一番早い解決方法だと思います。