1泊５０ドル

2泊で１００ドル、北京観光もまたよし。

故宮の濠

航空券によってはダメなのもあるかも。接続可能な最初の便指定とか。
旅行社経由購入だとその辺も聞けるのですが。

私の場合、長い旅が多いので、乗り継ぎ便は当日乗り継ぎ可でも必ず最低1泊から数泊はしています。
私がアメリカに住んでいて、韓国、中国、台湾に一度も行ってなければ、ソウル、北京か上海、台北乗り継ぎ日本にして、交通費はタダで3国の数日の旅行を楽しみます。

そのような場合は割り増しになる場合でも日本からの往復より安ければすると思います。

2泊する設定にすると金額が変わりますか？またはそうすると、出てこないのですか？

もし、不可なら天安門広場だけでもいいかと。あとは早起きして故宮のお濠沿いの散策が最高です。牛門前を右（右折）に行った濠が皇居みたいでいいです。