私がお尋ねしているのはもちろんドイツの場合です

居住予定のイタリアのことは過去にも経験があり、他の方にお尋ねしなくてもよーーく知っておりますが、そのような簡単な方法では取得できません。だからお聞きしているわけです。
（どうも私を嫌っているおっちょこちょいが早速あなたに拍手していますが・・）

まだ良くあなたの状況が把握できていないのですが、こういうことですか？
（まず観光ビザという表現は間違いであるという前提からですが・・）

３ヶ月以内滞在予定でビザなしでドイツに入国した→しかしそれ以上滞在したくなった→そこで留学ビザを取ることにした。
ここまで間違いないですか？
で、私が疑問に思うのは、イタリアだとこの際必ず帰国して日本の大使館・領事館で申請しなければなりません。ビザ取得まで１ヶ月はかかります。審査も厳格で、申請されなかったという話も良く聞きます（知恵袋でも見ます）。恐らく口座残高証明に引っかかったのでしょう。
渡伊後は即座に最寄りの管轄警察署に出頭して（極めて面倒な）滞在許可証申請をせねばならず、またこの交付も半年ぐらいかかります。
ドイツはそれをすっとばして、滞在したままドイツでビザ申請も滞在許可書申請もできるということですか？
しかしこれが可能というなら、オーバーステイ寸前の人が容易く語学研修名目でビザを取得できませんか？私の疑問はここなのです。

どこでどのようにしてビザを申請し、滞在許可書を取得されたか、また申請から取得までどれ位の日付がかかったか、詳しくお教えいただければ幸いに存じます。
冷やかしではなく、ドイツにも一度滞在してみたいと思っております。真面目な質問です。

なお、ビザ失効後の滞在につきましては、微妙だと思います。失効前にシェンゲン外に出た方が良いという意見もあります。
これについては、このような海外旅行掲示板よりも、ぜひドイツ在住者の掲示板でお聞き下さい。例えばこれが有用です（例示したページは古いです）。
http://mixi.jp/view_bbs.pl?comm_id=896843&id=21039155

上から１２行目訂正

「申請されなかった」→「申請が受け付けられなかった」

以上訂正です。すみません。