フルムーンパスの方がいいかと

大人の休日はJR東日本だけですから、熱海以東。JR東管内でも東海道新幹線はダメなので、実質東京まで新幹線で。
熱海まで新幹線+特急踊り子号で東京でもいいですが。時間はかかりますが。
こだま指定席用のぷらっとこだま利用でも、合計金額はフルムーンパスと余り変わりません。東京までLCC利用でも似たようなもの。

4日という限られた日数では新幹線か空路東北日本海側がベター。
列車の場合、新幹線+特急グリーン車で新神戸から東京経由東北日本海側がベターです。
大人の休日は6月23日～7月5日の13日間限定。11月、冬にもあるが、東北のオフシーズン。
6月30日までと10月1日から利用できるフルムーンパスのほうがトピ主さんの旅には可能性が大きいでしょう。
もっとも夏の旅または、夫婦で88歳以上でないか、50歳以上ではないならどちらもお呼びでないですが。
唯一あなたの案に賛同できるのは7月１～5日の旅の場合。フルムーンパスは使えないので。
今から会員になれば間に合います。

なお、大人の休日にはグリーン用はありません。JE西日本の新幹線・特急に乗れるおとなびパスにはグリーン用もあります。