９時とは微妙ですね

８時でも１０時でもなく９時ですか。
いろんな事情が重なって長浜に着くのが１３時になってもいいのなら、やはり先に駅周辺を回るのがいいと思います。
特に何もなければ１２時には着けるはずです。

>長浜→福岡城は歩いて行けませんか？
この間は、徒歩以外の交通手段がありません。
福岡の城下は、東西に伸びる海岸に沿って街ができた関係で、
横の通りは大きいのが何本もあるのですが、縦の通りはほとんどないのです。
ですから、バスも縦に行くのは限られた場所しかありません。
長浜→福岡城をバスに乗ろうとしたら、一旦天神に戻ることになって、歩いた方が早いです。
（ちなみに地下鉄の最寄り駅はどちらも空港線赤坂駅です。）

>あと、市立博物館も組み込んだ場合、どこに挟めば効率が良いでしょうか？
長浜から直接市立博物館に行く手段がありませんので、
長浜→福岡城→市立博物館がいいと思います。
福岡城→市立博物館はバス移動が便利ですが、これはたくさんあるので、適当にそのへんのバス停に行って、「福岡タワー」か「博物館南口」に行くのに乗ればいいです。（バス停も城の周りならどれでも可）
博物館から駅に戻るのはそれこそ何でもいいし、夕食の場所が駅でなくてもいいのなら、途中のどこかで食べて宿に行けばいいし、タワーで夜景を見るのもアリでしょう。