自信がなければ同一方向の、阿里山2泊、日月譚1泊の悠々コースも

もっと小さい子だと何ですが、10歳なら全く問題ないですよ。
高校のとき、一人で台湾へ行き、それ以来、30数年間に数えきれない方に台湾行きを薦めてきましたので、家族連れも随分行かれて、その後の感想も聞いていますので、大丈夫ですよ。
ただ、もう６～9月の夏に予約した方を除いて、暑く間寒くもない、日本の５、10月に相当する１１～3,4月の台湾の絶好の季節に薦めているので、今回のように夏のアドヴァイスは3割以下です。

以上の快適季節なら今回の旅程は１００％問題ないといえますが、猛暑の時期なので、同方向の日月譚、阿里山に限定するほうがゆっくりできることは確かです。

トピ主さんがタロコも希望でしたので、夏には絶好の阿里山を加えたプランにしたわけです。

阿里山は本当に暑さ知らずの絶好の避暑地なので、ココで2泊、日月譚で1泊（順序はどちらでも）でもいいですね。
阿里山も2泊すれば確実にご来光と雲海が見られるかと。


これなら博多まで飛んで、博多+阿蘇（阿里山）と雲仙か長崎（日月譚）に行くようなものので（距離的、時間的に同じです）全然楽勝です。
台湾と九州はほぼ同じ大きさなのです。

花蓮はちょうど別府の位置にあるので、博多を経由して東九州に行く感じとなり、少し移動距離が長くなるわけです。
家族連れで6日間で長崎、阿蘇、別府など普通にいますから、たとえ、別府のそばの由布院（タロコ）に行っても全然問題のないコースであることがお分かりいただけるかと。

移動距離的には全く問題ありませんが、暑さだけが大敵ですので、台北など平地は休み休み観光して下さい。

日月潭から花蓮への移動は順調にいって・・・

日月潭－(南投客運80分～)－高鐵台中駅－(高鐵51分～)－台北駅－(台鐵130分～)－花蓮
乗継時間を30分＋30分とみると、合計で約5.5時間になります。

正直言って、阿里山か太魯閣のどちらかをカットすると
余裕のある日程になり、お子さんも退屈しない旅になる
ような気がします。せっかくの夏休みですからねぇ。

■日月潭に２泊して、九族文化村の海賊王(ワンピース)
　アトラクション、そして曜日が合えばになりますが
　毎週水曜に運行される、C12型蒸気機関車が牽く
　集集線の観光列車乗車。

■花蓮に２泊して、遠雄海洋公園あるいはラフティング体験。

なおホテルですが、次のサイトでかなり割安なものが出ています。
https://www2.jhc.jp/resv/h/sp.php?year=2012&natcd=TPE#toppage
１室２名まで(子供もカウント)という申し込み制限がありますが
ダメ元で、連絡事項欄に｢子供用エキストラベッド希望｣と入力して
リクエストしてみる・・・価値はあるかも。